Table des matières (masquer)

  1. 1. Introduction
    1. 1.1 Médiatrice d’un segment
    2. 1.2 Figures symétriques
  2. 2. Symétrie axiale
    1. 2.1 Symétrique d’un point par rapport à une droite
    2. 2.2 Symétrique des éléments de base par rapport à une droite
    3. 2.3 Propriétés de la symétrie axiale
    4. 2.4 Symétrique de figures usuelles par rapport à une droite

1.  Introduction

1.1  Médiatrice d’un segment

Définition : On dit que (d) est la médiatrice du segment [AB] si la droite (d) coupe le segement [AB] perpendiculairement et en son milieu.

Exemple : trace la médiatrice de chaque segment :

(:drawing MediatricesDeBase:)

Construction de la médiatrice d’un segment à la règle et au compas (sans utiliser l’équerre)

  • Choisir un écartement quelconque pour le compas
  • Piquer le compas sur une des extrémités du segment et traer un arc de cercle de chaque côté du segment
  • Sans changer l’écartement, faire de même avec l’autre extrémité du segemnt.
  • Tracer la droite passant par les intersections des arcs de cercle : c’est la médiatrice du segment

Fichier GeoGebra de la figure : mediatriceCompas.ggb

1.2  Figures symétriques

Dans chacun des cas suivants, les dessins se superposent lorsqu’on plie la feuille suivant la droite.

Dans chaque cas, on dit que les 2 figures sont symétriques par rapport à la droite.

2.  Symétrie axiale

2.1  Symétrique d’un point par rapport à une droite

Définition On dit qu’un point A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB].

(:drawing PointsSymetriques:)

  • On dit que A et A’ sont symétriques deux à deux par rapport à la droite (d)
  • On dit que B’ est le symétrique de B par rapport à la droite (d)
  • Le point C est sur (d) alors son symétrique est C.

Remarque : Si un point apprtient à la droite (d), alors il est son propre symétrique

Méthodes de construction du symétrique A’ d’un point A par rapport à une droite (d)

  • Avec la règle et l’équerre
    • avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à la droite (d) passant par A
    • avec la règle graduée, reporter la longueur AO pour contruire le segment [OA’] de même longueur
  • Avec le compas
    • choisir un écartement suffisamment grand et piquer sur le point A
    • tracer les deux intersections du cercle avec la droite (d)
    • piquer sur chacune des deux intersections et tracer deux arcs de cercle. Leur point d’intersection (différent de A) est A’

2.2  Symétrique des éléments de base par rapport à une droite

  • Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même mesure
    Pour tracer le segment symétrique, il suffit de tracer les symétriques des deux extrémités du segment

Question : À quelle condition un segment est-il confondu avec son symétrique ?

  • Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite
    Pour tracer la droite symétrique, il suffit de tracer les symétriques de deux des points de la droite

Question : À quelle condition une droite est-elle confondue avec son symétrique ?

  • Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon
    Pour tracer le cercle symétrique, il suffit de tracer le symétrique du centre du celcle puis de tracer en gardant le même rayon

Question : À quelle condition un cercle est-il confondu avec son symétrique ?

2.3  Propriétés de la symétrie axiale

Comme on l’a vu, la symétrie axiale conserve les longueurs, cette propriété essentielle porte un nom : “ISOMÉTRIE” et entraine d’autres propriétés :

Propriétés :

  • Dans une symétrie axiale, les longueurs, l’alignement, le parallélisme, la perpendicularité et plus généralement les angles sont conservés.
  • Par une symétrie axiale, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.

2.4  Symétrique de figures usuelles par rapport à une droite

Propriété : Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Conséquence : ses diagonales se coupent en leur milieu et on la même longueur
Démo :

  • [IA] sym de [ID] p/r à la mediatrice de [AD] => IA=ID
  • [ID] sym de [IC] p/r à la mediatrice de [CD] => ID=IC
  • [IC] sym de [IB] p/r à la mediatrice de [CB] => IC=IB
  • Conclusion IA=ID=IC=IB => IA=IC et ID=IB càd I milieu de [AC] et de [BD] ET AC=BD

Propriété : Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.
Conséquence : ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Démo :

  • D sym de B p/r à (AC) => [BD] perpendiculaire à (AC) et I milieu de [BD]
  • C sym de A p/r à (BD) => [AC] perpendiculaire à (BD) et I milieu de [AC]

Un carré est un losange ET un rectangle, il a dons les propriétés des deux figures donc :
Propriété : Un carré a quatre axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.

Propriété : Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base (qui passe par le sommet principal) .
Conséquence : les deux angles adjacents à la base d’un triangle isocèle sont de même mesure.
Démo : L’angle $\widehat{ABC}$ sym de l’angle $\widehat{ACB}$ p/r … ils ont donc même mesure.

Un carré est un losange ET un rectangle, il a dons les propriétés des deux figures donc :
Propriété : Un carré a quatre axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.

Propriété : Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrice de ses côtés .
Conséquence : les trois angles d’un triangle équilatéral sont de même mesure.
Démo :

  • L’angle $\widehat{ABC}$ sym de l’angle $\widehat{ACB}$ p/r … ils ont donc même mesure.
  • L’angle $\widehat{ACB}$ sym de l’angle $\widehat{CBA}$ p/r … ils ont donc même mesure.