Geoplan

Table des matières (masquer)

  1. 1. Introduction
  2. 2. Présentation
  3. 3. Activités avec GéoplanW
    1. 3.1 Découverte de GéoplanW
    2. 3.2 Collège : Construction de figures élémentaires
    3. 3.3 Collège : droite des milieux : le théorème de Varignon
    4. 3.4 Lycée : puissance d’un point par rapport à un cercle
  4. 4. Mise en forme avec GéoplanW
  5. 5. Copier-coller des figures GéoplanW dans un traitement de texte
  6. 6. Fonctions et outils spéciaux dans GeoplanW
    1. 6.1 Brider les menus
    2. 6.2 Figures communicantes
    3. 6.3 Outil trace
    4. 6.4 Lieu d’un point
    5. 6.5 La fonction µ
    6. 6.6 Astreindre un point à rester dans une zone
    7. 6.7 Prototypes
    8. 6.8 Suites numériques
    9. 6.9 Création itérative

1.  Introduction

Les logiciels de construction mathématique Geoplan et Geospace sont issus d’une réflexion menée au CREEM à la suite de l’arrivée des micro-ordinateurs graphiques dans les années 80 et de leur utilisation pour réaliser des imagiciels mathématiques. GéoplanW est téléchargeable à l’adressse :

http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/new/geoplan/

2.  Présentation

Géoplan vous montre à l’écran une barre de menus et une barre d’outils.

Geoplan est un logiciel de géométrie dynamique dans le plan qui permet de créer des figures dans lesquelles il sera possible de déplacer des objets afin de vérifier si certaines conjectures ne sont pas dues uniquement à un positionnement particulier des objets.

Geoplan crée en réalité un programme de construction d’une figure à partir des objets existants au préalable sur la figure; ainsi pour créer la droite (d) passant par les points A et B, il faut au préalable avoir créé les points A et B. Si l’on supprime un objet, on supprime tous ses descendants : dans l’exemple précédent, la suppression du point A entraîne la suppression de la droite (d). On peut « voir » sur une figure des objets qui n’existent pas pour Geoplan car ils n’ont pas été créés : par exemple si l’on crée deux droites (d1) et (d2) qui sont apparemment sécantes, on voit leur point d’intersection, mais celui-ci ne pourra pas être utilisé dans Geoplan tant qu’il n’aura pas été créé.

Tous les objets créés par Geoplan le sont dans un repère orthonormé prédéfini : Roxy. Les mesures effectuées par Geoplan sont en unité de mesure de ce repère prédéfini. Tous les objets créés par Geoplan doivent être nommés : le nom d’un objet comporte au plus 4 caractères, le premier devant obligatoirement être une lettre ; le nom d’un point est constitué d’une lettre suivie d’un prime, d’un seconde ou d’un numéro. Seuls les noms des points sont affichés à l’écran.

Les touches de fonction et la souris permettent d’effetuer des actions dans GéoplanW :

F2 : Rappel du script de construction - F4 : Affiche/cache les noms des points - F6 : Affiche/cache le repère

Clic gauche sur un point pour le déplacer - Clic droit sur la figure pour la déplacer

3.  Activités avec GéoplanW

3.1  Découverte de GéoplanW

Instructions

Faire apparaître les menus GéoplanCliquer avec le bouton gauche
Créer un point libre ACréer → Point → Point libre → Dans le plan → A; OK ou entrée
Déplacer le point ACliquer avec le bouton gauche de la souris sur A et maintenir enfonçé tout en déplaçant la souris
Créer deux points libre B et CCtrl - B (répète la dernière action) ou bouton → B C
Créer le triangle ABC nommé TCréer → Ligne → Polygone → Polygone défini par ses sommets → A B C ; T
Déplacer la figureMaintenir le bouton droit enfoncé sur la figure tout en déplaçant la souris
Créer les milieux I et J des segments [AB] et [BC]Créer → Point → Milieu → AB ; I; Ctrl+B → BC ; J
Créer les droites (CI) et (AJ)Créer → Ligne → Droite(s) → définie(s) par deux points → CI AJ
Créer l’intersection G de (CI) et (AJ) (création des droites non nécessaire)Créer → Point → Intersection de deux droites → CI ; AJ ; G
Clarifier le dessin, mettre en valeur certains objets, en cacher d’autreDivers → Style crayon ou
Masquer les droites (CI) et (AJ)Choisir , puis cliquer sur les objets que vous avez dessinés que vous ne voulez plus voir apparaître. Pour faire réapparaître ces objets, cliquer sur , sélectionner dans la fenêtre qui s’ouvre alors les objets désirés.
Créer l’orthocentre HCréer → Point → Centre (Divers) → Orthocentre → ABC ; H
Créer les centres O1 , O2 des cercles circonscrit et inscrit du triangle ABCUtiliser le menu précédent
Créer la droite (GH), la nommer (d)Créer → Ligne → Droite(s) → Nommée définie par deux points → GH ; d
Colorer en rouge la droite (d)Utiliser le menu Style Crayon. Choisir une couleur. Il est possible d’accéder à la liste complète des objets créés en cliquant sur le bouton, et de sélectionner celui qui sera affecté par le nouveau style.
Afficher les longueurs AB, AC et BCCréer → Affichage → Calcul géométrique → Longueur d’un segment → AB ; 2 décimales. Répéter l’opération pour AC et BC.
Bouger les points A, B et C. Remarquer que les quatre points sont alignés lorsque le triangle est isocèle..

3.2  Collège : Construction de figures élémentaires

Le but de cette activité est de faire progresser l’élève dans l’utilisation du logiciel en éliminant progressivement les indications de tracé. 

Construction d'un rectangle
Cliquer sur fichier puis sur « nouvelle figure du plan ». 
1) Créer deux points.  Nommer A et B ces deux points.
2) Tracer la droite (AB). 
3) Tracer la droite passant par A, perpendiculaire à la droite (AB). La nommer d1. 
4) Tracer de même la droite passant par B, perpendiculaire à la droite (AB). La nommer d2.
5) Créer un point C sur la droite d1.  
6) Tracer la droite parallèle à la droite (AB) passant par C. La nommer d3. 
7) Nommer D le point d’intersection des droites d2 et d3. 
8) Créer le rectangle ABDC. Le nommer r. 
9) Effacer les droites. Ouvrir la boîte de styles puis sélectionner non dessiné et cliquer sur les droites.
10) Colorier ou hachurer le rectangle obtenu. Ouvrir la boîte de styles puis cliquer sur motif. 

Deux Constructions utilisant la symétrie axiale
Cliquer sur fichier puis sur « nouvelle figure du plan ». 
1) Créer deux points A et B libres dans le plan.
2) Tracer la droite (AB).
3) Tracer la droite passant par A, perpendiculaire à la droite (AB). La nommer d.
4) Créer un point C libre dans le plan.
5) Créer un point D image de C par la symétrie d’axe (AB)
6) Créer deux points E et F images respectives de C et D par la symétrie d’axe d.
7) Créer le rectangle CDFE. Le nommer r.

Cliquer sur fichier puis sur « nouvelle figure du plan ». 
1) Créer deux points A et B.
2) Tracer le segment [AB].
3) Tracer la droite passant par A, perpendiculaire à la droite (AB).
4) Créer un point D image de B par la symétrie d’axe (AB).
5) Tracer le segment [DB].
6) Créer un point C sur la droite (AB).
7) Créer le triangle DCB.

Donner un programme de construction d'un carré.
-
-
-
-
-
-

3.3  Collège : droite des milieux : le théorème de Varignon

Cette activité a pour buts :

  1. D’élaborer un algorithme de construction de la figure
  2. De travailler en autonomie avec GéoplanW
  3. De conjecturer la conclusion du théorème

Elle se prolongera par un travail sur papier pour démontrer le théorème.

Deux supports à vidéo-projeter : Page1 Page2 

Considérer un quadrilatère ABCD
puis le milieu I de [AB], le milieu J de [BC], le milieu K de [CD] et le milieu L de [DA]. 
Que peut-on dire du quadrilatère IJKL ?
1. Etablir « a priori » une liste des éléments à créer pour construire la figure :
-
-
-
-
2. Démarrer GéoplanW et construire la figure en notant les étapes :
-
-
-
-
-
Déplacer les points A, B, C et D. Qu'observe-t-on ?
-
-
-
-
-

3.4  Lycée : puissance d’un point par rapport à un cercle

Soit C un cercle et P un point situé à l’intérieur du cercle. Pour toute corde [AB] passant par P, le produit APxBP est constant.

Deux supports à vidéo-projeter : Page1 Page2 

1. Etablir une liste des éléments à créer
-
-
-
-
-
-

2. Démarrer GéoplanW et construire la figure en notant les étapes :
-
-
-
-
-
-

4.  Mise en forme avec GéoplanW

Dans un texte prévu pour le commentaire de la figure ou pour l’affichage, la présence du caractère $ indique un changement de style ou de couleur à condition qu’il soit suivi d’une lettre qui code ce changement :

Style
$m :droit maigre$i :italique$g :gras$J :italique gras
$S :souligné$I :italique souligné$G :gras souligné$B :biffé
Couleur
$b :blanc$r :rouge$k :bleu$y :jaune
$v :vert$p :rose$c :ciel$q :gris
$n :noir$R :rouge foncé$K :bleu foncé$Y :jaune foncé
$V :vert foncé$P :rose foncé$C :ciel foncé$Q :gris foncé

Exemple :
$rAttention $g$k\rac(x)\ $m$n n'est valide que si $g$kx$m$n est $rpositif$n.

  • Lettres grecques : faire précéder le caractère latin du tilde ~
    • Pour nommer Ω le point O écrire dans le texte de la figure : A la place de O, afficher: ~W
    • Pour A1=πOP2=3.675 , écrire \A_1\ = ~p*\dist(O,P)^2=\val(pi*OP^2,3)
  • Inférieur – supérieur £ ³ ~£ ~³ Relations ¹ » ~¹ ~’‘
    • Infini ∞ \inf\ 
  • Parenthèses : Pour afficher les parenthèses, il faut les doubler
    • ((a+b))+c → (a+b)+c.
  • Fractions :
    • \a/b\ =\val(a,3)/val(b,3)\ ̴” val(a/b,3) →
    • \dist(O,A)/dist(O,B)\ →
  • Divers :
    • \sqrt(1+x)\ et \vec(A,B)&vec(u)\ →
    • \root(5,a^2+2ab+b^2) →
    • L’angle \hat(ABC)\ - l’arc \arc(AB)\ - la fonction vectorielle \fleche(f((x)))\ 
    • l’arc orienté \arcor(AB)\ - \sqrt(z*bar(z))=norm(z)\ - \vec(u)&vec(A,B)\ 
    • sigma(n=1,+inf,1/(1+n)^2) – lim(nx,0,integrale(0,1,sin(x)/n,x)) – prod(n=1,10,((1+n)))

5.  Copier-coller des figures GéoplanW dans un traitement de texte

Pour tracer le graphe d’une fonction puis en coller la représentation dans un traitement de texte : Créer → Ligne → Courbe → Graphe d’une fonction

Pour copier l’image et la coller dans un traitement de texte, cliquer sur l’icône du limiteur d’image pour ajuster la zone à copier :

Ouvrir le traitement de texte puis coller l’image (par un clic droit ou Edition→Coller).

6.  Fonctions et outils spéciaux dans GeoplanW

6.1  Brider les menus

Dans GeoplanW, il est possible de personnaliser les menus en retirant des outils de construction L’objectif peut être, par exemple, de créer l’image de M par une symétrie axiale sans utiliser l’outil symétrie.

  1. Modifier les menus : interdire tout ce qui concerne les transformations du plan
  2. interdire de modifier les menus. Divers → Modifier les menus. Interdire les menus 2–1−9, 2–3 et 5–12
  3. Vérifier que les menus sélectionnés ne sont plus accessibles.
  4. Créer les points libres M, U et V.
  5. Créer la droite (UV) nommée (d)
  6. Rendre les points U et V non apparents.
  7. Fichier → Enregistrer la figure sous

La figure ainsi construite peut être donnée aux élèves avec comme consigne de créer l’image de M par la symétrie orthogonale d’axe (d).

Lorsque les élèves ouvrent le fichier en double cliquant dessus, il se trouvent face à une figure en partie construite et des menus bridés.

6.2  Figures communicantes

Dans Geoplan, il est possible de permettre aux figures de communiquer entres-elles. Voici comment créer ce genre de situation :

  1. Créez d’abord une figure où se trouve la variable d’origine que vous voulez capturer par la suite.
  2. Créez sur la deuxième figure une variable réelle libre (Même si la variable d’origine est entière ou bornée).
  3. Donnez à cette varable le même nom que celle que vous voulez importer.
  4. Cochez l’option Importer qui se trouve dans le menu Piloter.

Lorsque vous allez modifier la variable de la 1ère figure, celle de la 2ème figure sera alors automatiquement actualisée.

6.3  Outil trace

Sur un exemple : le problème de l’échelle

InstructionsOpérations Géoplan
Faire apparaître le repèreAfficher/Repère Roxy affiché ou Bouton
Créer les points A, B et C de cordonnées respectives (0;0), (4;0) et (0;4)Créer/Point/Point repéré/Dans le plan/0;0;A puis Ctrl+B ou Divers/Répéter
Créer les segments [AB] et [AC]Créer/Ligne/Segments/AB AC
Créer le point M libre sur le segment [AC]Créer/Point/Point libre/Sur un segment/AC;M
Créer le cercle D centré en M de rayon 4Créer/Ligne/Cercle/Défini par centre et rayon/M;4;D
Nommer N et N’ les intersections du cercle D et de la droite (AB)Créer/Points/Intersection droite-cercle/2 points/AB;D;NN’
Créer le segment [MN]Créer/Ligne/Segment/MN
Nommer I le milieu de ce segmentCréer/Point/MN;I
Clarifier le dessin : masquer le cercle D, le point N’ et le repère et colorer I en rougeDivers/Style Crayon
Choisir I comme point qui va laisser une traceAfficher/Sélection trace/Cliquer sur I puis OK
Passer en mode traceAfficher/Mode trace (bascule) ou bouton
Bouger le point M à la sourisCliquer sur le point M et bouger la souris sans relacher le bouton
Choisir M comme point allant être déplaçable avec le clavierPiloter/Piloter au clavier/Cliquer sur M puis OK
Bouger M au clavierAppuyer sur les touches flèche gauche et droite sur le clavier pour bouger M, sur les touches + et - pour modifier le pas du pilotage. (il est possible de régler ceci dans le menu Piloter/Modifier paramètre de pilotage au clavier)
Sortir du mode trace (observer que la trace disparaît)Afficher/Mode trace (bascule) ou bouton

Remarque : On peut rajouter à la main une dernière ligne (juste avant commentaire) dans le texte de la figure de droite “Démarrer en mode trace ‘’ pour que le mode trace soit actif dès le début.

6.4  Lieu d’un point

  1. Créer un point libre O dans le plan ;
  2. Créer le cercle c de centre O et de rayon 3 ;
  3. Créer un point A fixe sur le cercle c ;
  4. Créer un point B libre sur le cercle c ;
  5. Créer le segment [AB] ;
  6. Créer le projeté orthogonal H du point O sur la droite (AB) ;
  7. Faire apparaître la trace du point H lorsque B se déplace sur le cercle c ;
  8. Déplacer le point O à l’aide de la souris.
  9. Sortir du mode trace ;
  10. Créer le lieu du point H (pilote B) ; ( Créer → Ligne → Courbe → Lieu d’un point )
  11. Déplacer le point O à l’aide de la souris

6.5  La fonction µ

La fonction caractéristique µ est une fonction qui prend pour argument une relation prenant la valeur vrai ou faux et donne pour résultat 0 si la relation n’est pas vérifiée et 1 si la relation est vérifiée.

La fonction µ la création de tracés conditionnels :

Exemple 1 : µ(x>10) renvoie 1 si x>10 et 0 sinon. On peut utiliser les opérateurs et, ou et non dans l’écriture des conditions par exemple pour définir une fonction sur un domaine ou par morceaux.

Exemple 2 :

Exemple 3 : f(x) = x²/µ(−5<x<4) n’est définie que sur ]−5 ; 4[ et ne sera donc tracée que sur ]−5;4[ puisque les autres valeurs de x donnent des valeurs infinies.

La fonction µ pour l’affichage conditionnel :

GéoPlan ne traite pas les chaînes de caractères. Pour afficher un texte variable dépendant d’une condition utiliser un point dont l’existence sera liée à une fonction µ. Pour cela utiliser la translation du vecteur nul multipliée par l’inverse de µ.

Si une condition est vérifiée, µ(condition) vaut 1, le point R1 image de R par la translation de vecteur vec(R,R)/µ(condition) est placé en R. A la place de R1, afficher:message écrit le message.

Si la condition n’est pas réalisée, µ(condition) vaut 0, la translation de vecteur vec(R,R)/µ(condition) n’existe pas. Pas de point R1 ni de message.

Autre exemple pour deux nombres a et b valant 12 ou 15, le texte suivant affiche selon les cas, à la place du nom du point R, les résultats : 12 ≤ 15 ou 15 > 12 : 

R1 image de R par la translation de vecteur vec(R,R)/µ(a<=b)
R2 image de R par la translation de vecteur vec(R,R)/µ(a>b)

A la place de R1, afficher: \val(a,0)\ ~£ \val(b,0)\
A la place de R2, afficher: \val(a,0)\ > \val(b,0)\

Un dernier exemple : p est la valeur du produit scalaire AB.AC Si |p|=0.1, U=bar(B,µ(−0.1<p<0.1))(C,µ(−0.1<p<0.1)) se trouve au milieu de [BC], sinon U n’existe pas puisque la somme des coefficients vaut 0, dans se cas U n’apparaît pas. Si |p|=0.5, 1/µ(−0.5<p<0.5) vaut 1, mais 1 est écrit en blanc, donc n’apparaît pas, et on voit juste BRAVO, sinon 1/µ(−0.5<p<0.5) est infini et la texte n’apparaît pas. A la place de U, on affiche le texte voulu. 

Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Position de Roxy: Xmin: -5, Xmax: 5, Ymax: 5
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné
A pointlibre
Objet libre A, paramètres: 0.02080443828, 0.64493758669
B point libre
Objet libre B, paramètres: 3.2108183079, 0.68654646325
C point libre
Objet libre C, paramètres: -0.00693481276, 3.1414701803
p produit scalaire vec(A,B).vec(A,C) (unité de longueur Uoxy)
U barycentre de (B,µ(-0.1<p<0.1)) (C,µ(-0.1<p<0.1))

Hauteur de la zone des affichages: 50
Af5 affichage du texte: $b\val(1/µ(-0.5<p<0.5))\$k$gBRAVO$m
Position de l'affichage Af5: (2,1)

A la place de U, afficher: $v$gYES !$m

Commentaire

Fin de la figure

6.6  Astreindre un point à rester dans une zone

L’idée est de créer un point libre M, puis un point P dont les coordonnées sont celles de M tant qu’elles répondent à un certain critère, autre chose sinon. On colle alors le point M (qui est le seul modifiable) au point P afin de lui faire respecter le critère imposé à P.

Exemple : un point “libre” dans une ellipse. 

Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Position de Roxy: Xmin: -5, Xmax: 5, Ymax: 5
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné

c courbe paramétrée par X=2cos(t), Y=sin(t), t décrivant [0,2pi] (200 points, repère Roxy)
Objet dessinable c, particularités: points liés
M point libre
Objet libre M, paramètres: -0.18723994452, 0.21497919556
xM abscisse de M (repère Roxy)
yM ordonnée de M (repère Roxy)
k = min(1,1/sqrt(xM^2/4+yM^2))
P point de coordonnées (kxM,kyM) dans le repère Roxy
Objet dessinable P, particularités: non dessiné

Le point M doit coller au point P

Commentaire

Fin de la figure

6.7  Prototypes

GeoplanW permet d’ajouter une entrée dans les menus afin de simplifier une tâche de création.

Voici comment définir le prototype « Carré défini par une diagonale » :

Construisons un carré :

  1. Deux points A et B libres dans le plan
  2. X image de B dans la similitude (centre A angle 45 (degré) rapport sqrt(2)^(−1))
  3. Y image de B dans la similitude (centre A angle −45 (degré) rapport sqrt(2)^(−1))
  4. Créer → ligne → polygone → défini par ses sommets
  5. Liste des sommets : A X B Y
  6. Nom du polygone : c
  7. Créons à présent le prototype :
  8. Divers → créer un prototype
  9. Titre du prototype : Carré défini par une diagonale
  10. Objets antécédents : A,B
  11. Objet résultant : c
  12. Phrase modèle : c défini par la diagonale [AB]
  13. Il n’y a plus qu’à utiliser le prototype :
  14. Créer → objet selon prototype → Carré à partir de deux points
  15. Antécédent 1 (point) : A
  16. Antécédent 2 (point) : X
  17. Résultat (polygone) : c’

Afin de rendre plus claire l’interface du prototype, on peut éditer le texte de la figure pour renommer les éléments de description de l’interface et effacer la figure construite : 

Figure Géoplan
Numéro de version: 2
Début de [Carré défini par une diagonale]
A point donné
B point donné
X image de B dans la similitude (centre A angle 45 (degré) rapport sqrt(2)^(-1))
Y image de B dans la similitude (centre A angle -45 (degré) rapport sqrt(2)^(-1))
c polygone AXBY
Description de l'interface
c carré défini par la diagonale [AB]
Premier sommet:
Sommet opposé:
Nom du carré:
Aide : Une diagonale définit un unique carré. Entrez les noms des extrémités d'une diagonale
Fin de [Carré défini par une diagonale]

Position de Roxy: Xmin: -5, Xmax: 5, Ymax: 5
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné

Angles en degrés par défaut

Commentaire

Fin de la figure

6.8  Suites numériques

Géoplan permet la création de sutes numériques Voici un exemple qui va afficher la ligne brisée joignant les points Pn de coordonnées :

  1. Créer → numérique → Variable entière dans un intervalle 
  #bornes : 0 20
  #Nom de la variable : n
  #Créer → numérique → suite non récurrente
  #Définie à partir de : n
  #Expression du terme d’indice n : sin(n)/sqrt(n)
  #Nom de la suite : s
  1. Créer les points P(n,s(n)) et Q(n+1,s(n+1))
  2. Créer le segment [PQ]
  3. Piloter au clavier la variable n
  4. Sélectionner la trace de [PQ]

6.9  Création itérative

Cet outil permet de créer des suites d’objets géométriques

  1. Construire un carré ABCD avec A (−5 ; 5), B (5 ; 5), C (5 ; −5) et D (−5 ; −5).
  2. Construire le point M du segment [AB] tel que AM=0.1AB (p.ex M image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 0.1)
  3. Construire de même les points N, P et Q à l’aide du bouton M/D puis le carré MNPQ qu’on nommera c.

Construction automatique de la suite de carrés :

  1. Créer → commande → Création itérative
  2. Objets à reproduire : M N P Q c
  3. Antécédents : A B C D
  4. Remplacer par : M N P Q
  5. Appui sur : n