ExOmatiK.net : LaTeX - Mathématiques

Table des matières (masquer)

1. Présentation
2. Indices et exposants
3. Insertion de texte
4. Symboles mathématiques
5. Espacements en mode mathématique
6. Fractions et délimiteurs
7. Soulignements, surlignements et Racines nièmes
8. Systèmes et matrices
9. Alignement d’équations
10. Des couleurs dans vos formules
11. Opérations comme à l’école

1. Présentation

Le point fort de LaTeX c’est la composition de textes scientifiques :

\usepackage{amsmath}

Des identités remarquables \dots\\
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

\dots{} à la mécanique des fluides\\
$\dfrac{D}{Dt}(\star)
=\dfrac{\partial(\star)}{\partial t}
+(\mathbf{v}\cdot\nabla)(\star)$

De manière générale, c’est le $ qui permet de basculer en mode mathématique. On distingue deux types de formules :

les formules en ligne encadrées des dollar $...$
les formules hors ligne encadrées par \[ … \]

Ces deux environnements ne produisent pas les mêmes résultats:

Une formule en ligne : $\int_a^b f(t) dt=0$

La même hors ligne :
\[
\int_a^b f(t) dt=0
\]

Maintenant, voyons comment tout cela fonctionne, vous verrez que ce n’est pas si compliqué !

2. Indices et exposants

La règle générale est la suivante :

$formule^{exposant}$

$formule_{indice}$

les commandes étant compatibles entre elles, et grâce au groupement avec les accolades, on peut aller très loin :

$x^2$ et $A_1$ 
mais aussi le classique $C_n^p$

écrivez $x^{22}$ et non $x^22$ \\
par suite $C_{130}^{\pi}$

et même en utilisant la commande \vphantom¹ qui définit une boîte invisible dont la hauteur est celle de son argument :

$ \vphantom{X}^1 X$ ou $\mathrm{SO}_4^{--}$
et carrément :
$ \vphantom{X}^{HG}_{BG}X^{HD}_{BD}$

¹ Pour vous convaincre de l’utilité de cette commande, comparez : $c_j c_j^\dagger c_j^{\phantom\dagger}$ (↑)

Essayez maintenant d’obtenir ceci

3. Insertion de texte

Pour insérer du texte dans une formule hors ligne, on utilise la commande \text :

\[
\frac{2}{3x-1} est un quotient
\]

\[
\frac{2}{3x-1} \text{ est un quotient}
\]

4. Symboles mathématiques

En mathématiques on a souvent besoin de lettres grecques :

Une liste non exhaustive de symboles mathématiques :

Quelques opérateurs :

Enfin, grâce à l’extension amsfonts on obtient $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ avec $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Q}$ etc…

Exemple :

\usepackage{amsfonts}

Soit $\Gamma$ l'alphabet grec, on a : 
$(\xi,\pi) \in (\Gamma \times \Gamma)$ \\
$(x,y) \mapsto x+iy$ : 
$\mathbb{Q}^2 \not \subset \mathbb{C}$ mais
$\mathbb{Q}^2 \hookrightarrow \mathbb{C}$

5. Espacements en mode mathématique

Il est parfois nécessaire de gérer les espacements :

$\mid\! \mid$	\!	espace fine négative
$\mid \mid$	\,	espace fine
$\mid\; \mid$	\;	espace moyenne
$\mid\quad \mid$	\quad	grande espace¹
$\mid\qquad \mid$	\qquad	double grande espace

¹ La largeur d’un quad correspond à la largeur du caractère «M» (↑)

Que préférez-vous ?
\[ 
\int\int f(t) dt dx  \quad \mbox{ou} \quad
\int \!\!\! \int f(t)\, dt\, dx
\]

6. Fractions et délimiteurs

Pour les fractions, on utilise \frac{num}{den} ou, pour une taille supérieure \dfrac{num}{den} qui force le displaystyle (le style «hors ligne») :

\usepackage{amsmath}

La fraction $\frac{2}{3}$ est un bon exemple.

Je dirais même plus, la fraction
$\dfrac{2}{3}$ est \dots

\usepackage{amsmath}

\[
\frac{1}{2+\frac{3}{4+5}}
\qquad
\frac{1}{2+\dfrac{3}{4+5}}
\]

Autour d’une fraction, les parenthèses (ou tout autre délimiteur) on une hauteur plus grande qu’autour d’un nombre par exemple.

La taille des délimiteurs suivants va s’adapter à la taille de l’expression grâce aux commandes \leftdélimiteur et \rightdélimiteur :

Préférez-vous ceci :
\[
| \int_0^{+\infty}f(t)dt | 
=
| \int\limits_0^{-\infty} f(-t)dt |
\]
ou cela :
\[
\left| \int_0^{+\infty}f(t)dt \right| 
=
\left| \int\limits_0^{-\infty} f(-t)dt \right|
\]

Le délimiteur invisible «.» permet de se libérer de la contrainte d’appariement avec \left. ou \right.

\[
\ln \left( \frac{1+x}{1-x}
\right)  =
2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{3}+\dots
\right.
\]

7. Soulignements, surlignements et Racines nièmes

Les commandes \overline et \underline créent un trait horizontal au-dessus ou au-dessous d’une expression.

\underline{Important} :
$\overline{A \bigcup B} =
\overline{A} \bigcup \overline{B}$

Les commandes \overbrace et \underbrace créent une grande accolade horizontale au-dessus ou au-dessous d’une expression.

\[ \underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26} \]

Voici une série de commandes destinées à produire des angles, des vecteurs divers types de chapeaux et d’accents :

$\widehat{A} \hfill \vec{A} \hfill  \hat{A} \hfill \check{A} $

$\acute{A} \hfill \grave{A} \hfill \bar{A} \hfill \dot{A} $

$\ddot{A} \hfill \breve{A} \hfill \tilde{A} \hfill \mathring{A}$

Les racines nièmes s’obtiennent grâce à la commande \sqrt[n]{abc} :

\[ \sqrt[4]{16}=\sqrt{4}=2 \]

Pour placer un élément au dessus d’un autre on dispose des commandes \overset et \underset :

\usepackage{amsmath}

\[
f(x)\overset{x=1}{=}A \quad
f(x)\underset{x=1}{=}A \quad 
\]
\[
\lim_{\underset{x>0}{x\to N}}f(x)
\overset{N\to\infty}{\longrightarrow}0
\]

On a aussi \xrightarrow[texte~facultatif]{texte} qui donne $\xrightarrow[texte~facultatif]{texte}$ .

8. Systèmes et matrices

le package amsmath permet de bénéficier des environnements matrix, pmatrix, bmatrix, vmatrix et Vmatrix pour construire facilement des matrices encadrées respectivement par rien, des parenthèses, des crochets, des barres vericales ou des double barres verticales

\usepackage{amsmath}

\[ det\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{pmatrix}
= \begin{vmatrix}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\end{vmatrix} \]

Pour les systèmes, l’environnement cases est pratique :

\usepackage{amsmath}

\[ f(x) = \begin{cases}
0    & \mbox{si } x<0 \\
2x+3 & \mbox{si } x \geq 0 \\
\end{cases}
\]

Remarque, on aurait aussi pu procéder ainsi :

\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0    & \mbox{si } x<0 \\
2x+3 & \mbox{si } x \geq 0 \\
\end{array}
\right. \]

9. Alignement d’équations

Pour aligner les étapes d’un calcul sur le signe égal, on utilise l’environnement align* :

\usepackage{amsmath}

\begin{align*}
\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx
&=\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2t}\cos t dt\\
&=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1+\cos 2t}{2}dt\\
&=\frac{\pi}{4}
\end{align*}

L’environnement eqnarray* qui fonctionne comme un tableau à trois colonnes (du type rcl) permet d’aligner des équations sur le signe égal :

\begin{eqnarray*}
         f(x)   & = & x                 \\
\int_0^x f(t)dt & = & \frac{x^2}{2}     \\ 
\int_1^x f(t)dt & = & \frac{x^2}{2}-0,5
\end{eqnarray*}

Les environnements align et eqnarray (sans astérisque) numérotent par défaut les équations, sauf si on le demande explicitement.

Les commandes label et ref permettent respectivement de référencer et de rappeler un ligne numérotée :

 \begin{eqnarray}
(a+b)^2    & = & a^2+2ab+b^2  \label{IR1} \\
(a-b)^2    & = & a^2-2ab+b^2  \nonumber  \\
(a+b)(a-b) & = & a^2-b^2
\end{eqnarray}

l'équation \ref{IR1} est appelée 
première identité remarquable.

10. Des couleurs dans vos formules

Avec \usepackage{color} dans votre préambule, tapez ${\color{red}x^2}+{\blue 2x}+{\green 1}$ pour obtenir ${\color{red}x^2}+{\color{brown}2x}+{\color{green}1}$

La liste des noms de couleur sur color-package-demo.pdf.

11. Opérations comme à l’école

Voyez la merveilleuse extension xlop et passez le concours de professeur des écoles !
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/macros/generic/xlop/fr-user.pdf